Pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro ?

Quel étudiant n'a jamais effectué l'erreur de la division par zéro ? Quel informaticien n'a jamais planté son programme à cause de la même erreur ? La division par zéro est une impossibilité théorique dont la réalité échappe parfois. Savez-vous vraiment pourquoi il n'est pas possible de diviser par zéro ?

Commençons par une grande révélation: il n'existe pas quatre mais deux opérations arithmétiques élémentaires, l'addition et la multiplication. Les deux autres opérations - soustraction et division - sont des déguisements des premières. Soustraire, c'est additionner l'opposé d'un nombre, tandis que diviser c'est multiplier par l'inverse du nombre.

 

- Soustraire a à b, c'est additionner -a à b c'est à dire calculer b+(-a).

- Diviser a par b, c'est multiplier a par l'inverse du nombre b c'est à dire 1/b.

 

 

Petit exemple: diviser 20 par 5, c'est multiplier 20 par 1/5, ou encore chercher le nombre qui, si multiplié par 5, va donner 20. La solution est bien entendu 4 car 4*5 = 20 !

Pour diviser un nombre a par 0, il faut donc multiplier a par l'inverse de zéro. Mais qu'est-ce que l'inverse de 0 ?

Par définition, l'inverse b' d'un nombre b est b'=1/b soit b×b'=1.  L'inverse de zéro sera donc le nombre b' tel que b' × 0 = 1, ce qui évidemment n'existe pas ! Multipliez n'importe quoi par zéro, cela donne toujours zéro. On dit à ce propos que zéro est absorbant.

 

L'inverse de zéro n'existant pas, la division par zéro n'existe pas non plus. CQFD !