Pourquoi les alvéoles des abeilles ont-ils une forme hexagonale ?

Avez-vous déjà vu une ruche d'abeille ou un pain de miel ? De multiples alvéoles de forme hexagonale (figure à six côtés) sont fabriquées par les abeilles pour contenir les larves ou encore le miel nécessaire à leur alimentation. Savez-vous pourquoi ces alvéoles ont une forme hexagonale ?

 

Les abeilles sécrètent de la cire, substance de fabrication des alvéoles en nid d'abeilles si connues. Du fait des efforts et du temps de production, elles sont -en grandes architectes- confrontées à plusieurs problèmes:

- Le pavage de la surface. En premier lieu, elle doivent utiliser au mieux leur espace en trouvant une forme qui leur permette la fabrication et la disposition des alvéoles sans perdre d'espace. Elles réalisent donc un pavage. Celui-ci doit être fait avec des figures de même forme: pas question en effet qu'une larve dispose d'une alvéole plus grande qu'une autre.

Pour un tel pavage, les trois polygones réguliers, triangle, carré et hexagone peuvent être utilisés.  Mais il aurait également pu être envisagé avec des rectangles, des losanges et autres figures non régulières.

 

 

- La minimisation de la cire. Afin d'utiliser un minimum de cire, et donc de produire ces alvéoles à moindre coût, les abeilles doivent trouver une forme de sorte que le pavage soit économe en cire. Formulé en 180 avant Jésus Christ, le théorème du nid d'abeille (qui avait bien-sûr un autre nom) cherche à déterminer laquelle des différentes figures possibles pour le pavage du plan offre un périmètre minimal. Il ne fut démontré qu'en 1943 par le hongrois László Fejes Tóth dans le cas particulier des polygones convexes.

A noter que le cas général d'un pavage avec n'importe quel forme n'a été démontré qu'en 1999 par Thomas C. Hale et sa preuve de 19 pages. Ce théorème quoi qu'il en soit, prouve que l'hexagone régulier est le pavage optimal pour minimiser la quantité de cire à utiliser!

Pas folles et sans mathématiques, les abeilles l'avaient déjà trouvé depuis des centaines d'années!

Certainement pas! Le fond d'une alvéole est dit en rhombe, c'est à dire formé de trois losanges (schéma de gauche). Deux explications à celà:

1- L'encastrement ainsi formé permet de maintenir les larves sur un même plan, donc plus proche les unes des autres afin qu'elles conservent mieux leur chaleur (figure de droite).

 

2- La forme de rhombe permet également de créer un plus grand volume, tout en minimisant la quantité de cire à utiliser. Est-ce pour autant la forme optimale? Il s'avère que non, un fond composé de deux losanges et deux hexagones aurait été plu efficace, mais avec un gain de cire de seulement 0,35%. Un gain minime, pour une forme plus complexe et donc plus longue à produire.

 

- Alvéole d'abeille (article Wikipédia)

- Théorème du nid d'abeille (article Wikipédia)